设A是m×n矩阵,且m>n,下列命题正确的是().
题目
设A是m×n矩阵,且m>n,下列命题正确的是().
相似考题
参考答案和解析
答案：D
解析：
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第1题：
设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m
B.r=m
C.rD.r≥m 答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C). -
第2题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n答案：A解析：
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第3题：
设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵
.证明：A可逆，且
答案：解析：
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第4题：
设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,答案：解析：
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第5题：
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.答案：解析：
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第6题：
设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列向量组线性无关.答案：解析：【证明】首先r(B)≤min{m，n）=n，由AB=E得r(AB)=n，而，.(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关. -
第7题：
设A为m X n矩阵，且r(A)=m小于n，则下列结论正确的是
AA的任意m阶子式都不等于零
BA的任意m个子向量线性无关
C方程组AX=b一定有无数个解
D矩阵A经过初等行变换化为
答案：C解析：
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第8题：
设A和B均为n阶矩阵(n>1)，m是大于1的整数，则必有( )。
答案：C解析：本题考查矩阵运算的相关性质。
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第9题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）.《》（ ）A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n答案：A解析：设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m. -
第10题：
问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。正确答案：
因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A)m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。解析： 暂无解析 -
第11题：
填空题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.正确答案： 0解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0． -
第12题：
单选题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（ ）.A当m＞n时，必有%7cAB%7c≠0
B当m＞n时，必有%7cAB%7c=0
C当n＞m时，必有%7cAB%7c≠0
D当n＞m时，必有%7cAB%7c=0
正确答案： D解析：
因r（AB）≤min[r（A），r（B）]≤min（m，n），且AB为m×m矩阵，则当m＞n时，由r（AB）≤n，知AB为不可逆矩阵，故必有|AB|=0． -
第13题：
设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则
答案：C解析： -
第14题：
设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：.
答案：解析：
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第15题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
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第16题：
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,答案：解析：
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第17题：
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r答案：解析：
第18题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)第19题：
设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，
A.- A B B. A B
C. (-1)m+n A B D. (-1)mnA B答案：D解析：
第20题：
设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式
等于（ ）。
答案：D解析：
第21题：
单选题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。Ar（A）＝m，r（B）＝m
Br（A）＝m，r（B）＝n
Cr（A）＝n，r（B）＝m
Dr（A）＝n，r（B）＝n
正确答案： C解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。第22题：
单选题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（ ）。A当m＞n时，必有｜AB｜≠0
B当m＞n时，必有｜AB｜＝0
C当n＞m时，必有｜AB｜≠0
D当n＞m时，必有｜AB｜＝0
正确答案： C解析：
因r（AB）≤min[r（A），r（B）]≤min（m，n），且AB为m×m矩阵，则当m＞n时，由r（AB）≤n，知AB为不可逆矩阵，故必有|AB|＝0。第23题：
问答题设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。正确答案：
由AX=b有唯一解知r(A)=r(A┆b)=n,因此AX=0只有零解。
若r(ATA)
由AX=b得,ATAX=ATb,有X=(ATA)-1ATb。如果η1,η2,…,ηt是线性方程组AX=b的解,则u1η1+u2η2+…+utηt也是AX=b的一个解。其中u1+u2+…+ut=1。
因为η1,η2,…,ηt是AX=b的解,所以η2-η1,η3-η1,…,ηt-η1是AX=0的解。
由u1+u2+…+ut=1,得u1=1-u2-u3…-ut,所以有u1η1+u2η2+…+utηt=(1-u2-u3-…-ut)η1+u2η2+…+utηt=η1+u2(η2-η1)+u3(η3-η1)+…+ut(ηt-η1),即u1η1+u2η2+…+utηt也是AX=b的解。解析： 暂无解析