设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

题目

相似考题

1.设A,B为n阶对称矩阵,下列结论不正确的是().A.AB为对称矩阵 B.设A,B可逆,则A^-1+B^-1为对称矩阵 C.A+B为对称矩阵 D.kA为对称矩阵

2.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

3.n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是( )。A.所有k级子式为正(k=1，2，…，n) B.A的所有特征值非负 C. D.秩(A)=n

4.设A,B为n阶可逆矩阵,则().

参考答案和解析

答案：C

解析：

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第1题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
解析：
第2题：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：
解析：
第3题：

设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.

答案：
解析：
第4题：

设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,

答案：
解析：
第5题：

设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则

A.Ar(A AB)=r(A)
B.r(A BA)=r(A)
C.r(A B)=max{r(A),r(B)}
D.r(A B)=r(A^T B^T).

答案：A
解析：
第6题：

设a为N阶可逆矩阵，则（）.《》（）

答案：C
解析：
第7题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第8题：

n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。
- A、所有k级子式为正（k=1，2，…，n）
- B、A的所有特征值非负
- C、秩（A）=n
正确答案:A
第9题：

单选题
n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。
A
所有k级子式为正（k=1，2，…，n）
B
A的所有特征值非负
C
秩（A）=n

正确答案： A
解析：暂无解析
第10题：

填空题
设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=O的通解为____.

正确答案： X=k(1,1…,1)^T
解析：
由r（A）＝n-1，知方程组AX=0的基础解系只含有n-（n-1）=1个解向量．又矩阵A的各行元素之和为0，知（1，1，…，1）^T，为AX=0的非零解，则方程组AX=0的通解为X＝k（1，1…，1）^T．
第11题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r_l
C
r＝r_l
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。
第12题：

单选题
下列结论中正确的是（）
A
矩阵A的行秩与列秩可以不等
B
秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C
若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D
秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

正确答案： D
解析：
第13题：

下列结论中正确的是（　　）。

A、矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵

中存在等于0的1阶子式。
第14题：

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵

答案：
解析：
第15题：

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.

答案：
解析：
第16题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A
解析：
本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)
第17题：

设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.

答案：
解析：
第18题：

设A为n阶可逆矩阵，则(-A)的伴随矩阵(-A)n等于（）。
A. -An B. An C. (-1)nAn D. (-1)n-1An

答案：D
解析：
提示：(-A)的代数余子式是由A的代数余子式乘以(-1)n-1。
第19题：

设A、B分别为n×m，n×l矩阵，C为以A、B为子块的n×（m+l）矩阵，即C=（A，B），则（）.《》（）

A.秩（C）=秩（A）
B.秩（C）=秩（B）
C.秩（C）与秩（A）或秩（C）与秩（B）不一定相等
D.若秩（A）=秩（B）=r，则秩（C）=r

答案：C
解析：
第20题：

设A为n阶可逆矩阵，则（-A）的伴随矩阵（-A）*等于（）。
- A、-A*
- B、A*
- C、（-1）nA*
- D、（-1）n-1A*
正确答案:D
第21题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第22题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r₁
C
r＝r₁
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。
第23题：

填空题
当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝____。

正确答案： 0
解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。

设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

题目

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