与n阶单位矩阵E相似的矩阵是A. B.对角矩阵D（主对角元素不为1） C.单位矩阵E D.任意n阶矩阵A
题目
与n阶单位矩阵E相似的矩阵是
A.
B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
C.单位矩阵E
D.任意n阶矩阵A
A.
B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
C.单位矩阵E
D.任意n阶矩阵A
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第1题：
设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=
A.E
B.-E
C.A
D.-A答案：A解析：
-
第2题：
设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.
A.若AB=CB，则a=C
B.
C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E
D.以上都不对答案：C解析： -
第3题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵答案：解析：
-
第4题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A) -
第5题：
设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。A.E－A不可逆，E+A不可逆
B.E—A不可逆。E+A可逆
C.E—A可逆。E+A可逆
D.E—A可逆。E十A不可逆
答案：C解析：(层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。 -
第6题：
创建一个4阶魔术矩阵A与单位矩阵B，并分别计算两矩阵之和、矩阵相乘、矩阵点乘、A矩阵乘方、A矩阵装置。
正确答案: >>A=magic（4）
>>B=eye（4）
>>C=A+B
>>D=A*B
>>E=A.*B
>>F=A^2
>>G=A’ -
第7题：
问答题创建一个4阶魔术矩阵A与单位矩阵B，并分别计算两矩阵之和、矩阵相乘、矩阵点乘、A矩阵乘方、A矩阵装置。正确答案： >>A=magic（4）
>>B=eye（4）
>>C=A+B
>>D=A*B
>>E=A.*B
>>F=A^2
>>G=A’解析： 暂无解析 -
第8题：
单选题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。Ar（A）＝m，r（B）＝m
Br（A）＝m，r（B）＝n
Cr（A）＝n，r（B）＝m
Dr（A）＝n，r（B）＝n
正确答案： C解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。 -
第9题：
问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。正确答案：
因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A)m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。解析： 暂无解析 -
第10题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第11题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A4
B2
C－1
D1
正确答案： B解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第12题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。AA＋2E
BA＋E
C（A＋E）/2
D－（A＋E）/2
正确答案： A解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第13题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n答案：A解析：
-
第14题：
已知矩阵
.
，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X.答案：解析：【解】化简矩阵方程，有AX(A-B)+BX(B-A)=E，即(A-B)X(A-B)=E.
由于
，所以矩阵A-B可逆，且
于是.
-
第15题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
-
第16题：
设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则
A.AE-A不可逆，E+A不可逆
B.E-A不可逆，E+A可逆
C.E-A可逆，E+A可逆
D.E-A可逆，E+A不可逆答案：C解析：判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).
【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=O
A的特征值λ=0
E-A(或E+A)特征值均不为0
｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)
E-A(或E+A)可逆 -
第17题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）.《》（ ）A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n答案：A解析：设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m. -
第18题：
可以产生由Z2上n阶线性常系数齐次递推关系式的矩阵A称为什么？（）
- A、乘方矩阵
- B、列矩阵
- C、单位矩阵
- D、生成矩阵
正确答案:D -
第19题：
填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。正确答案： -1解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第20题：
单选题设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（ ）。AO
B－E
CE
DE＋αTα
正确答案： D解析：
注意利用ααT＝1/2来简化计算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。 -
第21题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。A（A＋E）/2
B－（A＋E）/2
C（A－E）/2
D－（A－E）/2
正确答案： C解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第22题：
问答题设A＝E－α(→)α(→)T，其中E是n阶单位矩阵，α(→)是n维非零列向量，α(→)T是α(→)的转置。证明： （1）A2＝A的充要条件是α(→)Tα(→)＝1； （2）当α(→)Tα(→)＝1时，A是不可逆矩阵。正确答案：
(1)必要性:由A=E-ααT,可知
A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-ααT-ααT +(ααT)(ααT)=E-2ααT+α(αTα)αT=E-ααT +(αTα-1)ααT
若A2=A=E-ααT,则(αTα-1)ααT=0,因为α为非零向量,故ααT≠0,所以有αTα-1=0,即αTα=1。
充分性:若ααT=1,即ααT-1=0,则A2=E-ααT+(αTα-1)ααT=E-ααT=A。
(2)(反证法)
若ααT=1,则有A2=A。如果矩阵A可逆,则有A-1A2=A-1A=E,即A=E,这与A=E-ααT相矛盾(由α是n维非零列向量,故ααT≠0),故矩阵A不可逆。解析： 暂无解析 -
第23题：
单选题可以产生由Z2上n阶线性常系数齐次递推关系式的矩阵A称为什么？（）A乘方矩阵
B列矩阵
C单位矩阵
D生成矩阵
正确答案： D解析： 暂无解析