n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是()。A、∣A∣0B、存在n阶矩阵P，使得A=PTPC、负惯性指数为0D、各阶顺序主子式均为正数

n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是()。

A、∣A∣0

B、存在n阶矩阵P，使得A=PTP

C、负惯性指数为0

D、各阶顺序主子式均为正数

第1题：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：
解析：
第2题：

n阶矩阵A为正定的充分必要条件是存在n阶矩阵C，使A=C T C。

B
第3题：

设A是n阶实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是，A的特征多项式的根全大于零.

设二次型X T AX经过正交变换X=TY可使得X T AX=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 其中λ 1 λ 2 …λ n 为A的特征值．由于A为正定的充分必要条件是λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 正定而后者为正定的充分必要条件是λ i >0(i=12…n)得证．设二次型XTAX经过正交变换X=TY,可使得XTAX=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2,其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值．由于A为正定的充分必要条件是λ1y12+λ2y22+…+λnyn2正定,而后者为正定的充分必要条件是λi>0(i=1,2,…,n),得证．
第4题：

设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,

答案：
解析：
第5题：

n阶实对称矩阵的各阶主子式都大于或等于0是A半正定的充分必要条件。

存在正交矩阵P，使得A相似于对角阵。