设A1,A2分别为m阶,n阶可逆矩阵,分块矩阵.证明:A可逆,且

题目
设A1,A2分别为m阶,n阶可逆矩阵,分块矩阵.证明:A可逆,且


相似考题
参考答案和解析
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  • 第1题:

    设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

    A.A的n个特征值都是单值
    B.A是可逆矩阵
    C.A存在n个线性无关的特征向量
    D.A一定为n阶实对称矩阵

    答案:C
    解析:
    矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量,A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件,同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件,A可逆既非其可对角化的充分条件,也非其可对角化的必要条件,选(C).

  • 第2题:

    设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r1,矩阵B=AC的秩为r,则



    答案:C
    解析:

  • 第3题:

    设A是3阶矩阵,P=(a1,a2,a3)是3阶可逆矩阵,
    若矩阵Q=(a1,a2,a3),则Q-1AQ=


    答案:B
    解析:
    提示:当P-1AP=Λ时,P=(a1,a2,a3)中a1,a2,a3的排列满足对应关系,a1对应λ1,a2对应λ2,a3对应λ3,可知a1对应特征值λ1=1,a2对应特征值λ2=2,a3对应特征值λ3=0,由此可

  • 第4题:

    设A为n阶正定矩阵,证明:对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.


    答案:
    解析:

  • 第5题:

    设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E是n阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ; (2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案:
    解析:

  • 第6题:

    设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.证明A-E可逆.


    答案:
    解析:

  • 第7题:

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案:
    解析:

  • 第8题:

    设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明:r(A)+r(B)≤n,


    答案:
    解析:

  • 第9题:

    设A是3阶矩阵,P=(a1,a2,a3)是3阶可逆矩阵,且P-1AP=


    答案:B
    解析:
    提示 当P-1AP=Λ时,P=(a1,a2,a3)中a1,a2,a3的排列满足对应关系,a1对应λ1,a2对应λ2,a3对应λ3,可知a1对应特征值λ1=1,a2对应特征值λ2=2,a3对应特征值

  • 第10题:

    设A为3阶矩阵.P为3阶可逆矩阵,且
    A.
    B.
    C.
    D.


    答案:B
    解析:
    故选B。

  • 第11题:

    设A是3阶矩阵,P = (α1,α2,α3)是3阶可逆矩阵,且,若矩阵Q=(α2,α1,α3),则Q-1AQ=( )。


    答案:B
    解析:
    提示:由条件知,λ1=1,λ2=2,λ3=0是矩阵A的特征值,而α1,α2,α3是对应的特征向量,故有

  • 第12题:

    设A为n阶可逆矩阵,则(-A)的伴随矩阵(-A)*等于()。

    • A、-A*
    • B、A*
    • C、(-1)nA*
    • D、(-1)n-1A*

    正确答案:D

  • 第13题:

    设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

    A.可逆矩阵
    B.实对称矩阵
    C.正定矩阵
    D.正交矩阵

    答案:B
    解析:

  • 第14题:

    设A、B为同阶可逆矩阵,则



    答案:D
    解析:

  • 第15题:

    设A、B都是n阶可逆矩阵,且(AB)2=I,则(BA)2的值为( )。



    答案:A
    解析:
    已知(AB)2=I,即ABAB=I,说明矩阵A可逆,且A-1=BAB,用A右乘上式两端即可得解

  • 第16题:

    设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B, (1)证明B可逆; (2)求.


    答案:
    解析:

  • 第17题:

    设A,B都是n阶矩阵,AB+E可逆.证明BA+E也可逆,并且.


    答案:
    解析:

  • 第18题:

    设A是n阶矩阵,E+A是可逆矩阵,记,若A按足条件,证明是反对称矩阵。


    答案:
    解析:


  • 第19题:

    设n阶矩阵A可逆,且detA=a,求,.


    答案:
    解析:

  • 第20题:

    设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则



    A.AE-A不可逆,E+A不可逆
    B.E-A不可逆,E+A可逆
    C.E-A可逆,E+A可逆
    D.E-A可逆,E+A不可逆

    答案:C
    解析:
    判断矩阵A可逆通常用定义,或者用充要条件行列式|A|≠0(当然|A|≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E,(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E,所以,由定义知E-A,E+A均可逆.故选(C).

    【评注】本题用特征值也是简捷的,由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0|E-A|≠0(或|E+A|≠0)E-A(或E+A)可逆

  • 第21题:

    设a为N阶可逆矩阵,则( ).《》( )


    答案:C
    解析:

  • 第22题:

    设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵。若A3=0,则( )。

    A.E-A不可逆,E+A不可逆
    B.E—A不可逆。E+A可逆
    C.E—A可逆。E+A可逆
    D.E—A可逆。E十A不可逆

    答案:C
    解析:
    (层_A)(E“+A2)=E-A3趣,(E+A)(E_A+A:)趣+A3翘,故E-A,层+A均可逆。

  • 第23题:

    设A为n阶可逆矩阵,则(-A)的伴随矩阵(-A)n等于( )。
    A. -An B. An C. (-1)nAn D. (-1)n-1An


    答案:D
    解析:
    提示:(-A)的代数余子式是由A的代数余子式乘以(-1)n-1。