第22题:
填空题
若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=____。
正确答案:
-xex+x+2
解析:
由题意可知,r=1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根,则该特征方程为(r-1)2=r2-2r+1=0,齐次方程为y″-2y′+y=0设y*=Ax+B为已知非齐次方程y″-2y′+y=x的特解,代入y″-2y′+y=x得0-2A+Ax+B=x,则A=1,B=2A=2。故已知非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。又y(0)=2,y′(0)=0,代入以上通解得C1=0,C2=-1。故所求方程特解为y=-xex+x+2。