单选题设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（ ）。A 此两个向量组等价B 秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝rC 当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性表示时，此二向量组等价D s＝t时，二向量组等价
题目
此两个向量组等价
秩（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）＝r
当α1，α2，…，αs可以由β1，β2，…，βt线性表示时，此二向量组等价
s＝t时，二向量组等价
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第1题：
设向量组A：α1=（t，1，1），α2=（1，t，1），α3=（1，1，t）的秩为2，则t等于（）．
- A、1
- B、-2
- C、1或-2
- D、任意数
正确答案:B -
第2题：
单选题设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案： C解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关． -
第3题：
单选题设向量组（I）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，其秩为r1；向量组（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)s，其秩为r2，且β(→)i（i＝1，2，…，s）均可以由α(→)1，…，α(→)s线性表示，则（ ）。A向量组α1＋β1，α2＋β2，…，αs＋βs的秩为r1＋r2
B向量组α1－β1，α2－β2，…，αs－βs秩为rl－r2
C向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl＋r2
D向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl
正确答案： C解析：
向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs也可由其线性表示，所以α1，α2，…，αs向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl。 -
第4题：
单选题设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（ ）。A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与矩阵B＝（β1，β2，…，βm）等价
正确答案： D解析：
例如α1＝（1，0，0，0），α2＝（0，1，0，0），β1＝（0，0，1，0），β2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关。 -
第5题：
单选题设向量组A：α1=（t，1，1），α2=（1，t，1），α3=（1，1，t）的秩为2，则t等于（）．A1
B-2
C1或-2
D任意数
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第6题：
单选题设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）.Ar＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Br＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Cr＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
Dr＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
正确答案： B解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性． -
第7题：
单选题设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（ ）。A此两个向量组等价
B秩（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）＝r
C当α1，α2，…，αs可以由β1，β2，…，βt线性表示时，此二向量组等价
Ds＝t时，二向量组等价
正确答案： C解析：
两向量组等价的充要条件是所含向量的个数相等，且能相互线性表示。 -
第8题：
问答题设向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s；（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t；（Ⅲ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t的秩依次为r1，r2，r3。证明：max（r1，r2）≤r3≤r1＋r2。正确答案：
当r1,r2中有一个为0的,等式显然成立。
当r1≠0,r2≠0,设向量组①:α1,α2,…,αr1;②:β1,β2,…,βr2;③:δ1,δ2,…,δr3分别是向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的极大线性无关组。显然③可由①和②线性表示,又③线性无关,故r3≤r1+r2。由于①、②可由③线性表示,所以r1≤r3,r2≤r3,即max(r1,r2)≤r3。所以max(r1,r2)≤r3≤r1+r2。解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs中没有零向量
B向量组的个数不大于维数，即s≤n
Cα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案： B解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。 -
第10题：
单选题设向量组Ⅰ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组Ⅱ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的（ ）。A充分非必要条件
B必要非充分条件
C充分必要条件
D既非充分也非必要条件
正确答案： A解析：
两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。 -
第11题：
设有向量组α1=（2，1，4，3）T，α1=（-1，1，-6，6）T，α3=（-1，-2，2，-9）T，α4=（1，1，-2，7）T，α5=（2，4，4，9）T，则向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩是（）。
- A、1
- B、2
- C、3
- D、4
正确答案:C -
第12题：
单选题n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（ ）。A存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
Bα1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
Cα1，α2，…，αs中存在一个向量不能由其余向量线性表示
Dα1，α2，…，αs中任何一个向量都不能由其余向量线性表示
正确答案： C解析：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。 -
第13题：
单选题下列说法不正确的是（ ）.As个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关
Bs个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关
Cs个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.
Ds个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.
正确答案： B解析：
A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的． -
第14题：
单选题设n维向量组（Ⅰ）α1，α2，…，αs线性无关，（Ⅱ）β1，β2，…，βt线性无关，且αi不能由（Ⅱ）线性表示（i=1，2，…，s），βj且不能由（I）线性表示（j=1，2，…，t），则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt（ ）.A一定线性相关
B一定线性无关
C可能线性相关，也可能线性无关
D既不线性相关，也不线性无关
正确答案： C解析：
设（Ⅰ）：α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），（Ⅱ）：β1=（0，0，1），β2=（0，1，1）．
则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）各自线性无关，但α1，α2，β1，β2线性相关；令（Ⅱ）：β1=（0，0，1），α1，α2，β1也满足条件，但α1，α2，β1线性无关． -
第15题：
问答题设向量组（Ⅰ）α1，α2，…，αs．（Ⅱ）β1，β2，…，βt．（Ⅲ）α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt．的秩依次为r1，r2，r3.证明:max（r1，r2）≤r3≤r1+r2.正确答案：
当r1,r2中有一个为0的,等式显然成立.
当r1≠0,r2≠0,设向量组①:α1,α2,…,αr1;②:β1,β2,…,βr2;③:δ1,δ2,…,δr3分别是向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的极大线性无关组.
显然③可由①和②线性表示,又③线性无关,故r3≤r1+r2.由于①、②可由③线性表示,所以r1≤r3,r2≤r3,即max(r1,r2)≤r3.所以max(r1,r2)≤r3≤r1+r2.解析： 暂无解析 -
第16题：
单选题设向量组I：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组II：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组I与向量组II等价的（ ）。A充分非必要条件
B必要非充分条件
C充分必要条件
D既非充分也非必要条件
正确答案： C解析：
两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。 -
第17题：
问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析： 暂无解析 -
第18题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（ ）。A必定r＜s
B向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C向量组中任意r个向量线性无关
D若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关
正确答案： B解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。 -
第19题：
单选题设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（ ）。A一定线性相关
B一定线性无关
C可能线性相关，也可能线性无关
D既不线性相关，也不线性无关
正确答案： A解析：
设（Ⅰ）：α1＝（1，0，0），α2＝（1，1，0），（Ⅱ）：β1＝（0，0，1），β2＝（0，1，1）。则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）各自线性无关，但α1，α2，β1，β2线性相关；
令（Ⅱ）：β1＝（0，0，1），α1，α2，β1也满足条件，但α1，α2，β1线性无关。