设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何的c∈（0，1）（ ）
题目
设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何的c∈（0，1）（ ）
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第1题：
设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（ ）。A． [f（x）/g（x）]＞[f（a）/g（b）]
B． [f（x）/g（x）]＞[f（b）/g（b）]
C． f（x）g（x）＞f（a）g（a）
D． f（x）g（x）＞f（b）g（b）答案：C解析：因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。 -
第2题：
设f(x)二阶可导，f(0)= f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值为—1.证明：
答案：解析：
-
第3题：
设奇函数f(x)在［-1，1］上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1.答案：解析：【证明】(Ⅰ)因为f(x)是区间［-1，1］上的奇函数，所以f(0)=0.
因为函数f(x)在区间［0，1］上可导，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f(1)-f(0)=f'(ξ).
又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1.
(Ⅱ)【证明】(方法一)因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1.
令F(x)=［f'(x)-1］e^x，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0.
根据罗尔定理，存在
使得F'(η)=0.
由
(方法二)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F(x)在［-1，1］上可导，且
F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)
F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1)
由罗尔定理可知，存在η∈(-1，1)，使得F'(η)=0.
由F'(x)=f(x)+f'(x)-1，知
f(η)+f'(η)-1=0，f(η)+f'(η)=1.
(方法三)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，f(x)是奇函数，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F'(x)=f(x)+f'(x)-1，
F'(ξ)=f(ξ)+f'(ξ)-1=f(ξ)
F'(-ξ)=f(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f(ξ)
当f(ξ)=0时，f(ξ)+f'(ξ)-1=0，即f(ξ)+f'(ξ)=1.结论得证.
当f(ξ)≠0时，F'(ξ)F'(-ξ)=-［f(ξ)］^2<0，
根据导函数的介值性，存在
，使得F'(η)=0.即f(η)+f'(η)-1=0
故f(η)+f'(η)=1.
【评注】本题是一道微分中值定理的证明题，其难点在于(Ⅱ)中辅助函数的构造.欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+(f'(η)-1)=0，即
，因此，应考虑辅助函数F(x)=［f'(x)-1]e^x；另一种思路是欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+f'(η)-1=0，因此，应考虑辅助函数F(x)=f'(x)+f(x)-x.
方法三中用到达布定理即(导函数的的介值性)，这个定理不是<考试大纲》要求的考试内容，部分考生给出了此种解法，只要书写正确，不影响得分. -
第4题：
设函数f(x)在区间［0，1］上具有2阶导数，且
，证明：
(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程
在区间(0，1)内至少存在两个不同实根.答案：解析：
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第5题：
若函数f(x)在[0，1]上黎曼可积，则f(x)在[0，1]上（ ）。A.连续
B.单调
C.可导
D.有界答案：D解析：
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第6题：
设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（ ）A.单调减少
B.单调增加
C.为常量
D.不为常量，也不单调答案：B解析：由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B． -
第7题：
设函数f（x），g（x）是大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时有（ ）《》（ ）A.f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B.f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C.f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D.f（x）g（x）＞f（a）g（a）答案：A解析：
-
第8题：
已知函数
(1)求f(x)单调区间与值域；
(2)设a≥1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]。若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围。
答案：解析：
-
第9题：
问答题设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）＝x。正确答案：
首先证明存在性。
作辅助函数F(x)=f(x)-x,由题设0
根据连续函数介值定理,在(0,1)上至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0。即f(ξ)-ξ=0。
用反证法证明唯一性。
设0
根据罗尔定理知,存在x0∈(x1,x2)⊂(0,1)使得F′(x0)=0,即f′(x0)=1,这与题目中f′(x)≠1相矛盾,故在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x。解析： 暂无解析 -
第10题：
问答题设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）＝f（1）＝0，证明：必∃ξ∈（0，1）使ξ2f″（ξ）＋4ξf′（ξ）＋2f（ξ）＝0。正确答案：
构造函数F(x)=x2f(x),由于f(x)在[0,1]上二阶可导,则F(x)也在[0,1]上二阶可导。
又F′(0)=[2xf(x)+x2f′(x)]x=0=0,F″(x)=2f(x)+4xf′(x)+x2f″(x)。
故根据泰勒公式有F(1)=F(0)+F′(0)(1-0)+F″(ξ)(1-0)2/(2!)=0,其中ξ∈(0,1)。
所以F″(ξ)/2=[2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)]/2=0。
即2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)=0。解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且存在相等的最大值。若f（a）＝g（a），f（b）＝g（b），证明： （1）存在η∈（a，b）使f（η）＝g（η）； （2）存在ξ∈（a，b）使f″（ξ）＝g″（ξ）。正确答案：
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ1∈(a,η),∃ξ2∈(η,b),使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。解析： 暂无解析 -
第12题：
问答题设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且对于（a，b）内一切x有f′（x）g（x）－f（x）g′（x）≠0。证明：如果f（x）在（a，b）内有两个零点，则介于两个零点之间，g（x）至少有一个零点。正确答案：
构造函数φ(x)=f(x)/g(x),并设x1、x2∈(a,b)是f(x)的两个零点,且x1
假设g(x)在(x1,x2)内没有零点,则函数φ(x)在[x1,x2]上可导,且φ(x1)=φ(x2)=0。
根据罗尔定理得,必∃ξ∈(x1,x2),使得
φ′(ξ)=[f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)]/g2(ξ)=0,即f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0与已知条件矛盾,故g(x)在(x1,x2)内至少有一个零点。解析： 暂无解析 -
第13题：
设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，
答案：解析：
-
第14题：
设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间［0，1］上
A.A当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C.当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D.当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间［0，1］上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时，F"(x)≥0，则曲线y=F(x)在区间［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x
=(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］
=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x)，η∈(x,1))
=x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］
当f"(x)≥0时，f'(x)单调增，f'(ξ)≤f'(η)，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D). -
第15题：
设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求
答案：解析：
所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得
-
第16题：
设，在x=0连续，且对任何x,y∈R有f(x﹢y)＝f(x)﹢f（y）
证明：(1)f在R上连续；(2)f(x)＝xf(1)。
答案：解析：(1)因f(0) ＝f(0＋0)＝f(0) ＋f(0) ＝2f(0)，所以f(0)=0。又对任意算∈(一∞，+∞)有△y=f(x＋△x) －f(x) ＝f(x) ＋f(△x) －f(x) ＝f(△x)
(2)先证对任意有理数r，都有以rx)=rf(x)。事实上，令y=x，得以2x)=2f(x)，由数学归纳法
-
第17题：
已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)一g(x)=X3+x2+1，则f(1)+g(1)=( )。A.-3
B.-1
C.1
D.3答案：C解析：令X＝﹣1，可得f(一1)-g(一1)=1，又由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，即f(一l) ＝f(1)，g(-1)=g(1)，则f(一1) －g(1) ＝f( 1) ＋g(1)=1，所以答案为C。 -
第18题：
设函数f(x)与g(x)均在(a，b)可导，且满足f'(x)A.必有f(x)>g(x)
B.必有f(x)
D.不能确定大小答案：D解析：由f'(x)第19题：
设f（x）和g（x）在（-∞，+∞）内可导，且f（x）＜g（x），则必有（ ）《》（ ）
答案：C解析：
第20题：
设g（x），f（x）∈F[x]，存在d（x）∈F[x]，有d（x）|f（x）且d（x）|g（x），那么称d（x）为f（x），g（x）的什么？（）
- A、公因式
- B、最大公因式
- C、最小公因式
- D、共用函数
正确答案:A第21题：
问答题设f（x）在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b（其中a、b都是非负常数），c是（0，1）内任一点。 （1）写出f（x）在点x＝c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式； （2）证明：|f′（c）|＜2a＋b/2。正确答案：
(1)f(x)在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f″(ξ)(x-c)2/(2!),其中ξ介于x和c之间。
(2)证明:在(1)中所得结论中,令x=0得
f(0)=f(c)+f′(c)(-c)+f″(ξ1)c2/(2!)①
令x=1得
f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f″(ξ2)(1-c)2/(2!)②
②-①得f(1)-f(0)=f′(c)+[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,则
,f′(c),=,f(1)-f(0)-[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,≤,f(1),+,f(0),+,f″(ξ2),(1-c)2/2+c2,f″(ξ1),/2≤a+a+b[(1-c)2+c2]/2
又0解析： 暂无解析第22题：
单选题设g（x），f（x）∈F[x]，存在d（x）∈F[x]，有d（x）|f（x）且d（x）|g（x），那么称d（x）为f（x），g（x）的什么？（）A公因式
B最大公因式
C最小公因式
D共用函数
正确答案： A解析： 暂无解析第23题：
单选题设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（ ）。[2018年真题]Af（x）/g（x）＞f（a）/g（b）
Bf（x）/g（x）＞f（b）/g（b）
Cf（x）g（x）＞f（a）g（a）
Df（x）g（x）＞f（b）g（b）
正确答案： C解析：
因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。